Relaciones Recurrentes
Conseguir
Las Relaciones Recurrentes para:
1) hn=
-3hn-1 +25hn-2-21hn-3
Condiciones Iniciales:
h0 = -1, h1 = 0, h2
= 1
Polinomio
Caracteristico:
X3
+3X2-25X+21 = 0
Las
Raices del Polinomio:
X
=-7, X=3, X=1
Entonces:
hn = -3(-7)n-1+25(-7)n-2
-21(-7)n-3
=
(-7)n-3 (-3(-7)
2 +25(-7)-21)
=
(-7)n-3 (-7) 3
=
(-7)n
hn = -3(3)n-1+25(3)n-2
-21(3)n-3
= (3)n-3 (-3(3) 2 +25(3)-21)
= (3)n-3
(3) 3
= (3)n
hn = -3(1)n-1+25(1)n-2
-21(1)n-3
= (1)n-3
(-3(1) 2 +25(1)-21)
= (1)n-3 (1) 3
= (1)n
ahora:
an = λ1(-7)n + λ2(3)n
+ λ3(1)n
haciendo
uso de las condiciones iniciales:
a0 : λ1(-7)0+ λ2(3)0
+ λ3(1)0 =
-1
a1 : λ1 (-7)1+ λ2(3)1
+ λ3(1)1 =
0
a2 :
λ1 (-7)2+ λ2(3)2 +
λ3(1)2 = 1
resolviendo el sistemas de ecuaciones:
λ1 = 11/28
λ2 =
-118/56
λ3 = 5/7
la solucion pedida es :
hn : 11/28 (-7)n- 118/56(3)n +
5/7(1)n
2) hn=
10hn-1 +16hn-2
Condiciones Iniciales:
h0 = 2, h1 = 2
Polinomio
Caracteristico:
X2-10X+16
= 0
Las
Raices del Polinomio:
X
= 8, X= 2
Entonces:
hn = 10(2)n-1-16(2)n-2
= (8)n-2 (10(8) 1 -16 )
=
(8)n-2 (8)
2
=
(8)n
hn = 10(2)n-1-16(2)n-2
= (2)n-2
(10(2)1-16 )
= (2)n-2 (2) 2
= (2)n
ahora:
an = λ1(8)n + λ2(2)n
haciendo
uso de las condiciones iniciales:
a0 : λ1(8)0+
λ2(2)0 = 2
a1 : λ1 (8)1+ λ2(2)1
= 2
resolviendo el sistemas de ecuaciones:
λ1 =
-1/3
λ2 = 7/3
la solucion pedida es :
hn : -1/3(8)n+7/3(2)
n
3)
hn+1= 2hn-1 -hn
Condiciones Iniciales:
h0 = 1, h1 = 1
Polinomio
Caracteristico:
X2+X-2 = 0
Las
Raices del Polinomio:
X
= 1, X= -2
Entonces:
hn = -1(1)n+2(1)n-1
= (1)n-1
(-1(1)+ 2 )
= (1)n-1
(1) 1
= (1)n
hn = -1(-2)n+2(-2)n-1
= (-2)n-1 (-1(-2)+ 2 )
= (-2)n-1 (-2) 2
= (-2)n+1
ahora:
an = λ1(1)n + λ2(-2)n+1
haciendo
uso de las condiciones iniciales:
a0 : λ1(1) -1+
λ2(-2)0 = 1
a1 : λ1 (1)0+ λ2(-2)1
= 1
resolviendo el sistemas de ecuaciones:
λ1 = 1
λ2 = 0
la solucion pedida es :
hn+1 : (1)n
4) ) hn+2hn-1
-1hn-2-2hn-3
Condiciones Iniciales:
h0 = h1 = 3, h2
= 4
Polinomio
Caracteristico:
X3
+2X2-X+2 = 0
Las
Raices del Polinomio:
X
=1, X= -1, X= -2
Entonces:
hn = -2(1)n-1+1(1)n-2
+2(1)n-3
= (1)n
hn = -2(-1)n-1+1(-1)n-2
+2(-1)n-3
= (3)n
hn = -2(-2)n-1+1(-2)n-2
+2(-2)n-3
= (-2)n
ahora:
an = λ1(1)n + λ2(-1)n
+ λ3(-2)n
haciendo
uso de las condiciones iniciales:
a0 : λ1(1)0+
λ2(-1)0 + λ3(-2)0 = 3
a1 : λ1 (1)1+ λ2(-1)1
+ λ3(-2)1 =
3
a2 : λ1 (1)2+
λ2(-1)2 + λ3(-2)2 = 4
resolviendo el sistemas de ecuaciones:
λ1 = 19/6
λ2 = -1/2
λ3 = 1/3
la solucion pedida es :
hn : 19/6 (1)n- 1/2(-1)n + 1/3(-2)n
5)
hn= 4hn-2
Condiciones Iniciales:
h0 = 0, h1 = 1
Polinomio
Caracteristico:
X2-4
= 0
Las
Raices del Polinomio:
X
= 2, X= -2
Entonces:
hn = 4(2)n-2
=
(2)n
hn = 4(-2)n-2
=
(-2)n
ahora:
an = λ1(2)n + λ2(-2)n
haciendo
uso de las condiciones iniciales:
a0 : λ1(1) 0+
λ2(1)0 = 0
a1 : λ1 (2)1- λ2(2)1
= 1
resolviendo el sistemas de ecuaciones:
λ1 = 1 /4
λ2 = -1/4
la solucion pedida es :
hn = 1/4
(2)n - 1/4 (-2)n
6) hn= 3hn-1 +4hn-2-12hn-3
Condiciones Iniciales:
h0 = 1, h1 = 4, h2
= 1
Polinomio
Caracteristico:
X3
-3X2-4X+12 = 0
Las
Raices del Polinomio:
X
=2, X=-2, X=3
Entonces:
hn = 3(2)n-1+4(2)n-2
-12(2)n-3
= (2)n
hn = 3(-2)n-1+4(-2)n-2
-12(-2)n-3
=
(-2)n
hn = 3(3)n-1+4(3)n-2
-12(3)n-3
= (3)n
ahora:
an = λ1(2)n + λ2(-2)n
+ λ3(3)n
haciendo
uso de las condiciones iniciales:
a0 : λ1(2)0+
λ2(-2)0 + λ3(3)0 = -1
a1 : λ1 (2)1+ λ2(-2)1
+ λ3(3)1 =
4
a2 : λ1
(2)2+ λ2(-2)2 + λ3(3)2 = 1
resolviendo el sistemas de ecuaciones:
λ1 = 2.25
λ2 = - 0.65
λ3 = -0.6
la solucion pedida es :
hn : 2.25(2)n- 0.65( -2)n -0.6(3)n
7) ) hn= -2hn-1 +36hn-2
+2hn-3 - 35hn-4
Condiciones Iniciales:
h0 =-2, h1 = 1, h2
= 0, h3= 1
Polinomio
Caracteristico:
X4+2X3-36X2-2X +35 = 0
Las
Raices del Polinomio:
X
=1, X= 5, X=-1, X=-7
Entonces:
hn = -2(1)n-1+36(1)n-2
+2(1)n-3 -35(1)n-4
=
(1)n
hn = -2(5)n-1+36(5)n-2
+2(5)n-3 -35(5)n-4
=
(5)n
hn = -2(-1)n-1+36(-1)n-2
+2(-1)n-3 -35(-1)n-4
= ( -1)n
hn = -2(-7)n-1+36(-7)n-2
+2(-7)n-3 -35(-7)n-4
= ( -7)n
ahora:
an = λ1(1)n + λ2(5)n + λ3(-1)n +λ4(-7)n
haciendo
uso de las condiciones iniciales:
a0 : λ1 (1)0+ λ2(5)0
+λ3(-1) 0 +λ4 (-7)
0 = -2
a1 : λ1
(1)1+ λ2(5)1 +λ3(-1)
1 +λ4 (-7)
1 = 1
a2 : λ1
(1)2+ λ2(5)2 +λ3(-1)
2 +λ4 (-7)
2 = 0
a3 : λ1
(1)3+ λ2(5)3 +λ3(-1)
3 +λ4 (-7)
3 = 1
resolviendo el sistemas de ecuaciones:
λ1 = -0.59375
λ2 = 0.048611111
λ3 = -1.47222222
λ4 = 1.7361111
la solucion pedida es :
hn : -(0.59375)(1)n+0.048611111(
5)n – 1.47222222(-1)n +1.7361111 (7)n
8) hn= -5hn-1
+6hn-2 +4hn-3 -8hn-4
Condiciones Iniciales:
h0 = 1, h1 = 1, h2
= 2, h3= 1
Polinomio
Caracteristico:
X4-5X3+6X2+4X -8= 0
Las
Raices del Polinomio:
X
=2, X= 2, X= 2, X= -1
Entonces:
hn = 5(2)n-1
- 6(2)n-2 -4(2)n-3 +8(2)n-4
=
(2)n
hn = 5(-1)n-1
- 6(-1)n-2
-4(-1)n-3 +8(-1)n-4
=
(-1)n
hn = hn (1) + hn
(2)
hn (1) =
λ1(2)n + λ2 n(2)n + λ3 n2(2)n
hn (2) =
λ4(-1) n
como
conseguimos raices repetidas planteamos la solucion de otra manera:
an = λ1(2)n + λ2 n(2)n + λ3 n2(2)n +λ4(-1)n
haciendo
uso de las condiciones iniciales:
a0 :
λ1 (2)0+ λ2 0(2)0 +λ3
0(2) 0 +λ4 (-1) 0 = 1
a1 : λ1
(2)1+ λ2 1(2)1 +λ3 12 (2) 1 +λ4 (-1)
3 = 0
a2 : λ1
(2)2+ λ2 2(2)2 +λ3 22 (2) 3 +λ4 (2)
3 = 2
a3 :
λ1 (2)3+ λ2 3(2)3 +λ3
32 (2) 3 +λ4 (-1)
3 = 1
resolviendo el sistemas de ecuaciones:
λ1 =
0.29629
λ2 = 0.0972
λ3 = – 0.0416
λ4
=0.70370
hn : 0.29629(2)n+0.0972n(
2)n – 0.0416n2(2)n
+0.70370 (-1)n
9)
hn= 6hn-1
+8hn-3-12hn-2
Condiciones Iniciales:
h0 = 0, h1 = 1, h2
= 1
Polinomio
Caracteristico:
X3
-6X2+12X-8 = 0
Las
Raices del Polinomio:
X
=2, X=-2
ahora:
an : λ1 (2)n+
λ2 n( 2)n +λ3n2(2)n
haciendo
uso de las condiciones iniciales:
a0 : λ1(2)0+ λ2
0(-2)0 + λ3 0(3)0 = 0
a1 : λ1 (2)1+ λ2 1 (2)1 + λ3
1 (2)1 = 1
a2 :
λ1 (2)2+ λ2 2(2)2 + λ3 (2)2 (2)2 = 1
resolviendo el sistemas de ecuaciones:
λ1 = 0
λ2 = 7/8
λ3 = -3/8
la solucion pedida es :
hn : 0(2)n+7/8
n( 2)n -3/8 n2(3)n